行间公式索引

这一段是整个章节的核心，它定义了数学中一个最基本的代数结构——群 (Group)。让我们一步一步把这个定义彻底拆解。

1. “群是一个集合 G ...”: 这句话是理解群的起点。一个群首先必须是一个集合 (Set)。集合是我们都很熟悉的概念，就是一堆东西的聚集，比如所有整数的集合 $\mathbb{Z}$，或者只包含三个字母 $\{A, B, C\}$ 的集合。这个集合我们用大写字母 $G$ 来表示。
2. “...连同满足以下性质的复合法则”: 这句话是关键。一个集合本身不是群，它必须配备一个“复合法则”才能构成一个群。这个复合法则通常被称为二元运算 (Binary Operation)。所谓二元运算，就是一个“配方”，它告诉你如何从集合 $G$ 中任意取出两个元素（可以相同），然后通过这个法则将它们“复合”或“运算”，得到的结果仍然是集合 $G$ 中的一个元素。这个性质通常被称为封闭性 (Closure)。虽然原文将封闭性隐含在了“复合法则”的定义里，但我们必须明确这一点：运算的结果不能跑到集合 $G$ 外面去。例如，整数集合 $\mathbb{Z}$ 配上加法“+”是一个复合法则，因为任意两个整数相加，结果仍然是整数。但整数集合 $\mathbb{Z}$ 配上除法“÷”就不是一个普适的复合法则，因为 $3 \div 2 = 1.5$，而 $1.5$ 不是整数，它跑出去了。
3. “复合法则”的三个性质（公理）: 为了让一个带复合法则的集合升级为“群”，这个法则必须满足下面三个严格的条件，它们被称为“群公理 (Group Axioms)”。

• 第一条：结合律 (Associativity)
• 原文：“对于 $G$ 中所有 $a, b, c$ 而言， $(a b) c=a(b c)$。”
• 解释：这里的 $ab$ 表示将元素 $a$ 和 $b$ 进行复合法则运算。这条公理说的是，当你对三个或更多元素进行运算时，运算的顺序无关紧要。你可以先算 $a$ 和 $b$ 的结果，再用这个结果去和 $c$ 运算（即 $(ab)c$）；也可以先算 $b$ 和 $c$ 的结果，再让 $a$ 去和这个结果运算（即 $a(bc)$）。无论哪种方式，最终的答案必须完全相同。这就像我们做算术加法时，$ (2+3)+4 $ 和 $ 2+(3+4) $ 结果都是 $9$ 一样。这个性质保证了我们可以写下像 $abc$ 这样的表达式而不用担心歧义。

• 第二条：单位元 (Identity Element)
• 原文：“$G$ 包含一个单位元 $1$，使得对于 $G$ 中所有 $a$ 而言，$1 a=a$ 且 $a 1=a$。”
• 解释：群里面必须存在一个非常特殊的元素，我们通常记作 $1$（或者 $e$）。这个特殊元素被称为单位元。它的作用就像数字中的 $1$ 在乘法里的角色，或者数字 $0$ 在加法里的角色。任何其他元素 $a$ 跟这个单位元进行运算，无论是左边乘还是右边乘，结果都还是元素 $a$ 本身，什么都没改变。这个单位元在整个群里是独一无二的。

• 第三条：逆元 (Inverse Element)
• 原文：“$G$ 中每个元素 $a$ 都有一个逆元，一个元素 $b$ 使得 $a b=1$ 且 $b a=1$。”
• 解释：这条公理保证了在群里，任何操作都有办法“撤销”。对于群中的每一个元素 $a$，都必然存在着它在群里的一个“搭档” $b$（通常记作 $a^{-1}$）。当 $a$ 和它的搭档 $b$ 进行运算时（不论左右），结果正好就是我们前面说的那个特殊的单位元 $1$。这就好比在实数乘法中，数字 $5$ 的逆元是 $1/5$，因为 $5 \times (1/5) = 1$；在整数加法中，数字 $5$ 的逆元是 $-5$，因为 $5 + (-5) = 0$（这里的 $0$ 是加法单位元）。

1. 定义阿贝尔群 (Abelian Group): 在群的基本定义之上，我们增加一个额外的、更强的条件：交换律 (Commutativity)。一个群如果它的复合法则满足交换律，那么它就是一个阿贝尔群（或称交换群）。交换律指的是，对于群中任意两个元素 $a$ 和 $b$，运算的顺序可以颠倒，即 $ab = ba$。这个性质不是所有群都具备的。为了纪念数学家尼尔斯·阿贝尔 (Niels Abel)，满足该性质的群被命名为阿贝尔群。
2. 示例1：阿贝尔群
   • 非零实数乘法群 $(\mathbb{R}^{\times}, \times)$: 我们知道普通实数的乘法是满足交换律的，比如 $3 \times 5 = 5 \times 3$。因此，非零实数在乘法下构成的群是一个阿贝尔群。
   • 实数加法群 $(\mathbb{R}, +)$: 同样，实数的加法也满足交换律，比如 $3 + 5 = 5 + 3$。所以实数在加法下构成的群也是一个阿贝尔群。我们之前举例的整数加法群 $(\mathbb{Z}, +)$ 也是阿贝尔群。
3. 示例2：非阿贝尔群 (Non-Abelian Group)
   • 一般线性群 $GL_n$: 这是由所有可逆的 $n \times n$ 矩阵构成的群，其复合法则是矩阵乘法。我们知道，矩阵乘法通常是不满足交换律的。也就是说，对于两个矩阵 $A$ 和 $B$，通常情况下 $AB \neq BA$。
   • 特例 $n=1$: 当 $n=1$ 时，$1 \times 1$ 的可逆矩阵其实就是一个非零的数。例如 $[a]$，其中 $a \neq 0$。矩阵乘法 $[a][b]$ 就等于 $[ab]$，这和普通数的乘法一样，是满足交换律的。所以 $GL_1(\mathbb{R})$ (同构于 $\mathbb{R}^{\times}$) 是一个阿贝尔群。
   • 当 $n \ge 2$: 只要维度大于等于2，我们就能轻易找到反例。因此，对于 $n \ge 2$，$GL_n$ 是一个非阿贝尔群。它是非阿贝尔群中最重要的例子之一。

1. 记号简化: 第一句话是一个约定俗成的惯例。严格来说，一个群是集合 $G$ 和运算 $*$ 组成的对 $(G, *)$。但是，当上下文中的运算非常明确时（比如整数的加法），我们通常就直接说“群 $G$”，而省略掉运算符号，用同一个字母 $G$ 同时指代群本身和其底层的集合。这是一种为了方便而采用的简写。
2. 群的阶 (Order of a Group): 这是一个非常简单但重要的概念。“阶”就是群里面元素的个数。想象一下点名，一个群里有多少个不同的成员，它的阶就是多少。
3. 记号 $|G|$: 我们用两条竖线把群（或集合）的名称括起来，表示它的阶。所以 $|G|$ 读作“群 $G$ 的阶”，它的值就是集合 $G$ 中元素的数量。这个记号和我们用来表示集合的基数 (Cardinality) 的记号是一样的，因为它们的含义本质上是相同的。
4. 有限群 (Finite Group) vs. 无限群 (Infinite Group):
   • 如果一个群的阶是一个有限的数字（比如 1, 2, 6, 100等），那么这个群就被称为有限群。
   • 如果一个群的元素有无穷多个，它的阶就是无限的，这个群就被称为无限群。

这一段主要是在介绍一些常用数学群的标准化简写符号。

1. $\mathbb{Z}^{+}$:
   • 集合: $\mathbb{Z}$ 代表所有整数的集合。
   • 法则: 上标“+”在这里特指加法运算。
   • 整体: $\mathbb{Z}^{+}$ 表示整数加法群，即 $(\mathbb{Z}, +)$。这是一个无限阿贝尔群。
2. $\mathbb{R}^{+}$:
   • 集合: $\mathbb{R}$ 代表所有实数的集合。
   • 法则: 上标“+”同样指加法运算。
   • 整体: $\mathbb{R}^{+}$ 表示实数加法群，即 $(\mathbb{R}, +)$。这也是一个无限阿贝尔群。
3. $\mathbb{R}^{\times}$:
   • 集合: $\mathbb{R}$ 代表实数集。
   • 法则: 上标“×”特指乘法运算。但是，如前所述，所有实数在乘法下不构成群，因为 $0$ 没有逆元。这个符号约定俗成地表示排除了 $0$ 之后的集合，即非零实数集 $\mathbb{R} \setminus \{0\}$。
   • 整体: $\mathbb{R}^{\times}$ 表示非零实数乘法群，即 $(\mathbb{R} \setminus \{0\}, \times)$。这同样是一个无限阿贝尔群。
4. $\mathbb{C}^{+}, \mathbb{C}^{\times}$:
   • 类比: 这里的 $\mathbb{C}$ 代表复数集。
   • $\mathbb{C}^{+}$ 就是复数加法群 $(\mathbb{C}, +)$。
   • $\mathbb{C}^{\times}$ 就是非零复数乘法群 $(\mathbb{C} \setminus \{0\}, \times)$。
   • 这两个也都是无限阿贝尔群。
5. 警告 (Warning):
   • 关于 $\mathbb{R}^{+}$ 的歧义: 这是一条非常重要的提醒。在很多其他数学分支（如分析学）中，$\mathbb{R}^{+}$ 通常用来表示正实数集 $\{x \in \mathbb{R} \mid x > 0\}$。这和本书中用来表示实数加法群的记号发生了冲突。
   • 明确的记号: 为了完全消除歧义，最严谨的写法是 $(G, *)$ 的形式，例如用 $(\mathbb{R}, +)$ 来明确表示实数加法群。
   • 本书的选择: 作者承认存在歧义，但为了简洁，选择在本书中使用 $\mathbb{R}^{+}$ 这种紧凑记号，并希望读者根据上下文理解。
   • 重申 $\mathbb{R}^{\times}$: 再次强调 $\mathbb{R}^{\times}$ 指的是非零实数在乘法下构成的群，并解释了为什么必须排除 $0$（因为它不可逆）。

1. 命题陈述: 这个命题叫做消去律 (Cancellation Law)。它说在一个群里，你可以像解普通代数方程一样“消掉”等式两边相同的因子。
   • 第一部分: 如果 $ab = ac$（左消去），或者 $ba = ca$（右消去），那么你就可以断定 $b=c$。这看起来理所当然，但这个性质是从群的三条公理严格推导出来的，并不是凭空产生的。注意，对于非阿贝尔群，$ab=ca$ 这种混着的情况是不能消去的。
   • 第二部分: 这是消去律的一个特例。如果 $ab=a$，你可以把 $a$ 看作 $a \cdot 1$。于是 $ab = a \cdot 1$，根据左消去律，得到 $b=1$。同理，如果 $ba=a$，可以看作 $ba=1 \cdot a$，但这里不能直接用右消去律。正确的做法是两边右乘 $a^{-1}$。
2. 证明 (Proof):
   • 目标: 证明 "如果 $ab=ac$，那么 $b=c$。"
   • 前提: 我们已知 $a, b, c$ 都是群 $G$ 的元素，并且 $ab=ac$ 这个等式成立。
   • 关键步骤: 群的定义保证了对于元素 $a$，必然存在它的逆元 $a^{-1}$。这是整个证明的核心武器。
   • 推导过程:
3. 我们从已知等式 $ab = ac$ 开始。
4. 我们利用 $a$ 的逆元 $a^{-1}$，在等式两边从左边乘以它。这步操作是允许的，因为在一个等式两边进行同样的操作，等式依然成立。得到：$a^{-1}(ab) = a^{-1}(ac)$。
5. 现在，利用群的结合律，我们可以重新组合括号：$(a^{-1}a)b = (a^{-1}a)c$。
6. 根据逆元的定义，我们知道 $a^{-1}a = 1$ (这里的 $1$ 是单位元)。所以等式变为：$1b = 1c$。
7. 最后，根据单位元的定义，$1b=b$ 且 $1c=c$。所以等式最终变为：$b=c$。
   • 结论: 我们从 $ab=ac$ 出发，通过严格的逻辑推导，得到了 $b=c$。证明完成。
   • “其他证明是类似的”:
   • 对于 $ba=ca$，我们在等式两边从右边乘以 $a^{-1}$，即 $(ba)a^{-1} = (ca)a^{-1}$。利用结合律得到 $b(aa^{-1}) = c(aa^{-1})$，即 $b \cdot 1 = c \cdot 1$，所以 $b=c$。
   • 对于 $ab=a$，两边左乘 $a^{-1}$，得到 $b=1$。
   • 对于 $ba=a$，两边右乘 $a^{-1}$，得到 $b=1$。

1. 消去律反例的解释:
   • 第一句话强调了逆元 $a^{-1}$ 在消去律证明中的核心地位。
   • 第二句话指出了当元素 $a$ 不可逆时，消去律就可能失效。
   • 紧接着给出了一个具体的 $2 \times 2$ 矩阵例子。原文中的矩阵写法有些省略，我们把它补全。
   • 设 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$。这个矩阵的行列式为 $1(0) - 1(0) = 0$，所以它是不可逆的。
   • 设 $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$。
   • 设 $C = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$。
   • 显然 $B \neq C$。
   • 计算左边: $AB = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(1)+1(2) & 1(1)+1(0) \\ 0(1)+0(2) & 0(1)+0(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$。
   • 计算右边: $AC = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(3)+1(0) & 1(0)+1(1) \\ 0(3)+0(0) & 0(0)+0(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$。
   • 结论: 我们得到了 $AB=AC$ 的结果，但实际上 $B \neq C$。这完美地展示了当公共因子 $A$ 不可逆时，消去律是无效的。
2. 构造群的方法:
   • 接下来，文章指出了一种从一个已有的、不完美的代数结构（比如所有矩阵和矩阵乘法）中“提炼”出群的通用方法。
   • 这个方法就是：只保留那些可逆的元素。
   • 对于矩阵乘法，我们丢掉所有不可逆的（行列式为0的）矩阵，只保留可逆矩阵。这些可逆矩阵的集合在矩阵乘法下就构成了一个群。
   • 对于函数复合，我们丢掉所有非双射的函数，只保留双射函数（因为只有双射函数才有逆函数）。这些双射函数的集合在函数复合下也构成了一个群。
3. 一般线性群 ($GL_n$) 的定义:
   • 这是应用上述方法于矩阵得到的第一个重要群的例子。
   • 名称: 一般线性群 (General Linear Group)。
   • 构成: 所有 $n \times n$ 维的可逆矩阵。
   • 运算: 矩阵乘法。
   • 符号: $GL_n$。下标 $n$ 代表矩阵的维度。
4. $GL_n$ 的具体化:
   • 为了更精确地说明矩阵中元素的来源，我们可以在符号后面加上括号指明数域。
   • $GL_n(\mathbb{R})$: 表示元素来自实数集 $\mathbb{R}$ 的 $n \times n$ 可逆矩阵群。
   • $GL_n(\mathbb{C})$: 表示元素来自复数集 $\mathbb{C}$ 的 $n \times n$ 可逆矩阵群。
   • 同样地，也可以有 $GL_n(\mathbb{Q})$ (有理数域)等。

1. 背景：映射和逆函数:
   • 首先，考虑一个集合 $T$，以及所有从 $T$ 映射到 $T$ 自身的函数（或称映射）所构成的集合 $M$。
   • 一个映射 $f: T \rightarrow T$ 什么时候有逆函数 $f^{-1}$ 呢？一个函数可逆的充分必要条件是它必须是双射 (Bijective)。
   • 双射包含两层意思：
   • 单射 (Injective)：不一样的输入一定得到不一样的输出。如果 $x_1 \neq x_2$，那么 $f(x_1) \neq f(x_2)$。没有“多对一”的情况。
   • 满射 (Surjective)：输出集合 $T$ 中的每一个元素，都至少有一个输入与之对应。没有“漏掉”的输出值。
2. 置换 (Permutation) 的定义:
   • 当一个从集合 $T$ 到自身的映射 $f$ 是双射时，我们就给它一个特殊的名字，叫作 $T$ 的一个置换。
   • 直观上，一个置换就是对集合 $T$ 中的元素进行一次“重新排列”或“洗牌”。因为是双射，所以保证了没有元素被弄丢，也没有元素被复制，只是位置变了。
3. 置换构成群:
   • 现在，我们应用上一节的“筛选法”：从所有映射的集合 $M$ 中，只挑出那些可逆的，也就是所有的置换。
   • 这个由集合 $T$ 的所有置换组成的集合，在函数复合（即先后执行两个置换）这个复合法则下，构成一个群。
   • 验证群公理:
4. 封闭性: 两个双射函数的复合仍然是一个双射函数。所以两个置换的复合还是一个置换。
5. 结合律: 函数复合天生满足结合律：$(f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h)$。
6. 单位元: 恒等映射 $id: T \rightarrow T$（即 $id(t) = t$ for all $t \in T$），它是一个双射，并且是这个群的单位元。因为 $f \circ id = id \circ f = f$。
7. 逆元: 置换的定义就要求它是双射，因此可逆。每个置换 $f$ 都有一个逆函数 $f^{-1}$，它也是一个置换，并且 $f \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f = id$。
   • 所以，任意集合 $T$ 的置换集在函数复合下都构成一个群，我们称之为“T上的对称群”，记作 $Sym(T)$。
8. 对称群 $S_n$ 的定义:
   • 这是置换群中一个最特殊、最常用的例子。
   • 我们不考虑任意的集合 $T$，而是取一个特定的、有限的集合，即包含 $n$ 个数字的指标集 $\{\mathbf{1}, \mathbf{2}, \ldots, \mathbf{n}\}$。
   • 这个特定集合上的置换群，就被称为 $n$ 次对称群 (Symmetric Group on n letters)，记作 $S_n$。
   • $S_n$ 的元素就是对这 $n$ 个数字进行重新排列的所有可能方式。
9. 记号约定:
   • 函数复合的运算符是 "$\circ$"。
   • 为了简洁，我们通常省略 "$\circ$"，直接像乘法一样写在一起。$q \circ p$ 就写成 $qp$。这和矩阵乘法的记号统一了起来。但要注意这里的“乘法”是函数复合。

1. $S_n$ 的阶:
   • 第一句话给出了对称群 $S_n$ 的阶的公式。
   • 对于一个包含 $n$ 个元素的集合，它的置换（即双射）有多少个呢？
   • 我们可以这样想：要构造一个置换 $f: \{1, ..., n\} \to \{1, ..., n\}$。
   • 对于输入 $1$，它可以被映射到 $\{1, ..., n\}$ 中的任何一个，有 $n$ 种选择。
   • 由于置换必须是单射的，输入 $2$ 就不能再映射到 $f(1)$ 了，所以它只剩下 $n-1$ 种选择。
   • 输入 $3$ 剩下 $n-2$ 种选择。
   • ...
   • 最后一个输入 $n$ 只剩下 $1$ 种选择。
   • 根据乘法原理，总的置换数量就是 $n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 1$。
   • 这个连乘积被定义为 $n$ 的阶乘，记作 $n!$。
   • 因此，对称群 $S_n$ 的阶为 $|S_n| = n!$。由于 $n!$ 对任何正整数 $n$ 都是有限的，所以 $S_n$ 是一个有限群。
2. 二阶群 (Group of order 2):
   • 现在，文章转向分析最小的非平凡群：阶为2的群。
   • 首先举例 $S_2$。$S_2$ 是作用在集合 $\{\mathbf{1}, \mathbf{2}\}$ 上的置换群。
   • 它的阶是 $2! = 2$。
   • 它的两个元素是：
3. 恒等置换 $i = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ (什么都不做)。
4. 对换 $\tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ (交换1和2)。
   • 这个集合 $\{i, \tau\}$ 在函数复合下构成一个二阶群。
   • 文章说，任何一个包含两个元素 $\{a,b\}$ 的集合的置换群，都和 $S_2$ 是“同一个群”。这里的“同一个”指的是结构上的相同，即“同构 (isomorphic)”。
5. 二阶群的唯一性:
   • 这部分是关键。它旨在证明：在同构的意义下，世界上只有一种二阶群。
   • 证明思路: 我们不依赖任何具体例子，从零开始构造一个任意的二阶群 $G$，看看它的结构是不是被唯一确定了。
   • 推导步骤:
6. 设 $G$ 是一个二阶群。那么 $|G|=2$。
7. 根据群的单位元公理，$G$ 中必须有一个单位元，我们记作 $1$。
8. 既然 $|G|=2$，那么 $G$ 中除了 $1$ 之外，还必须有且仅有另一个元素。我们把它叫作 $g$。所以 $G = \{1, g\}$。
9. 我们要确定这个群的复合法则，也就是构建它的乘法表。这个表需要定义 $1 \times 1, 1 \times g, g \times 1, g \times g$ 这四个运算的结果。
10. 根据单位元的定义，我们立刻知道：
    • $1 \times 1 = 1$
    • $1 \times g = g$
    • $g \times 1 = g$
11. 现在只剩下 $g \times g$ 的结果没有确定。这个结果必须是 $G$ 中的元素，所以它要么是 $1$，要么是 $g$。
12. 这里用到了消去律（或者是逆元公理的直接推论）：在一个群中，如果 $gh=g$，那么 $h$ 必须是单位元 $1$。所以 $g \times g$ 不可能是 $g$，否则 $g$ 就成了单位元，但我们已经知道 $g \neq 1$。
13. 排除 $g \times g = g$ 之后，只剩下唯一的可能性：$g \times g = 1$。
    • 结论: 整个乘法表被完全确定了：
    • 由于任何一个二阶群都必须遵循这个唯一的运算规则，所以它们在结构上是完全一样的。

1. 引言：$S_3$ 的重要性:
   • $S_3$ 的阶是 $3! = 6$。
   • 它之所以重要，是因为它是最小的非阿贝尔群（非交换群）。我们已经知道，所有阶为1, 2, 3, 5的群都是循环群（因此是阿贝尔群），阶为4的群也是阿贝尔群。所以阶为6的 $S_3$ 是我们遇到的第一个非阿贝尔群，是研究非交换结构的绝佳入门案例。
2. 生成元 (Generators):
   • 要描述一个群，我们不必列出它的乘法表（对于 $S_3$ 来说，是一个 $6 \times 6$ 的大表）。一个更高效的方法是找到它的“生成元”。
   • 生成元就是群中的一些关键元素，通过这些元素和它们的逆元的反复运算，可以表示出群里的所有元素。
   • 对于 $S_3$，作者选择了两个元素作为生成元：
   • $x$: 循环置换 $(123)$。在两行表示法中是 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$。它将 $1 \to 2$, $2 \to 3$, $3 \to 1$。可以想象成把正三角形顺时针旋转120度。
   • $y$: 对换 $(12)$。在两行表示法中是 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$。它交换1和2，保持3不变。可以想象成沿着过顶点3的中线翻转正三角形。
3. 定义关系 (Defining Relations):
   • 仅仅有生成元还不够，我们还需要知道它们之间如何相互作用。这些相互作用的规则被称为“定义关系”。
   • 作者给出了三条规则 (2.2.6)：
   • $x^3=1$: $x$ 这个操作（旋转120度）做三次，就等于什么都没做（旋转360度，即单位元 $1$）。$x^2 = (132)$ 是旋转240度，$x^3 = x \circ x^2 = (123)(132) = (1)(2)(3) = 1$。
   • $y^2=1$: $y$ 这个操作（翻转）做两次，就等于什么都没做（翻过去再翻回来）。$y^2 = (12)(12) = (1)(2) = 1$。
   • $yx = x^2y$: 这是最关键的一条，它揭示了 $S_3$ 的非交换本质。它说明 $y$ 和 $x$ 的运算顺序是不能交换的。如果你想把 $y$ 从 $x$ 的左边移到右边，你必须把 $x$ 变成 $x^2$。这个关系描述了旋转和翻转这两种操作是如何相互影响的。
4. 验证 $yx=x^2y$:
   • $x^2 = (123)(123) = (132) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$。
   • 计算 $yx$ (先x后y):
   • $x: 1 \to 2, 2 \to 3, 3 \to 1$
   • $y$: $1 \leftrightarrow 2, 3 \to 3$
   • 复合：$1 \xrightarrow{x} 2 \xrightarrow{y} 1$, $2 \xrightarrow{x} 3 \xrightarrow{y} 3$, $3 \xrightarrow{x} 1 \xrightarrow{y} 2$
   • 所以 $yx = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} = (23)$。
   • 计算 $x^2y$ (先y后x²):
   • $y$: $1 \leftrightarrow 2, 3 \to 3$
   • $x^2$: $1 \to 3, 3 \to 2, 2 \to 1$
   • 复合：$1 \xrightarrow{y} 2 \xrightarrow{x^2} 1$, $2 \xrightarrow{y} 1 \xrightarrow{x^2} 3$, $3 \xrightarrow{y} 3 \xrightarrow{x^2} 2$
   • 所以 $x^2y = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} = (23)$。
   • 两者结果相同，关系式 $yx=x^2y$ 得到验证。
5. $S_3$ 的所有元素:
   • 利用生成元 $x, y$ 和它们的幂，可以构造出一些元素。
   • $1$ (单位元)
   • $x = (123)$
   • $x^2 = (132)$
   • $y = (12)$
   • $xy = (123)(12) = (13)$。
   • $x^2y = (132)(12) = (23)$。
   • 作者断言，这6个元素 $1, x, x^2, y, xy, x^2y$ 就是 $S_3$ 的全部6个元素。这需要证明它们两两之间互不相同，这可以通过直接计算（或使用消去律）来完成。例如，如果 $x=xy$，根据左消去律得到 $1=y$，这与 $y=(12)$ 矛盾，所以 $x \neq xy$。

1. 常用表示: 作者给出了一个名称，“常用表示 (usual presentation)”，特指用生成元 $x=(123), y=(12)$ 以及关系式 (2.2.6) 和元素列表 (2.2.7) 来描述 $S_3$ 的这套方法。
2. 非交换性的再次强调: 明确指出 $S_3$ 不是交换群，因为从关系 $yx=x^2y$ 可以看出，只要 $x \neq x^2$ (这是显然的)，那么 $yx \neq xy$。
3. 计算策略:
   • 核心思想：任何由生成元 $x, y$ 和它们的逆元（$x^{-1}, y^{-1}$）组成的复杂表达式，都可以通过反复应用关系式 (2.2.6) 进行化简，最终变成标准形式列表 (2.2.7) 中的某一个。
   • 化简总策略:
4. 移y: 利用关系 $yx=x^2y$ (或其变体如 $yx^2=xy$)，想办法把表达式中所有的 $y$ 都挪到表达式的最右边。每当一个 $y$ 穿过一个 $x$（从左到右），那个 $x$ 就会发生改变。
5. 降幂: 利用关系 $x^3=1$ 和 $y^2=1$，将 $x$ 和 $y$ 的指数（幂次）保持在尽可能小的范围内。例如，看到 $x^4$ 就换成 $x$，看到 $y^3$ 就换成 $y$，看到 $x^{-1}$ 就换成 $x^2$ (因为 $x^3=1 \implies x \cdot x^2 = 1 \implies x^{-1}=x^2$)。
6. 示例计算的超详细分解:
   • 目标: 化简表达式 $x^{-1} y^{3} x^{2} y$。
   • 第一步：降幂和处理逆元
   • $x^{-1} = x^2$ (因为 $x^3=1$)
   • $y^3 = y^2 \cdot y = 1 \cdot y = y$ (因为 $y^2=1$)
   • 代入原表达式，得到: $x^2 y x^2 y$。这是原文等号右边的第一项。
   • 第二步：开始移动第一个 y
   • 表达式是 $x^2 y x^2 y$。我们关注中间的 $y x^2$ 部分。
   • 我们需要把 $y$ 挪到 $x^2$ 的右边。我们已经推导过 $yx^2 = xy$。
   • 所以 $x^2 (y x^2) y = x^2 (xy) y$。
   • 我们也可以按原文的思路，逐步来：$x^2 (yx) xy$。
   • 将 $yx$ 替换为 $x^2y$：$x^2 (x^2y) xy$。这是原文的第三项。
   • 第三步：合并 x 和移动第二个 y
   • $x^2 (x^2y) xy = (x^2x^2)yxy = x^4 yxy$。
   • $x^4 = x^3x = 1x=x$。所以表达式变为 $x y x y$。这是原文的第四项。
   • 第四步：继续移动 y
   • 我们关注中间的 $y x$ 部分。
   • $x (yx) y = x (x^2y) y$。这是原文的第五项。
   • 第五步：合并同类项
   • $x (x^2y) y = (xx^2)(yy) = x^3 y^2$。
   • 第六步：最终化简
   • $x^3 = 1$
   • $y^2 = 1$
   • 所以 $x^3 y^2 = 1 \cdot 1 = 1$。这是原文的最后一项。
   • 结论: 那个看起来很复杂的表达式，其真实身份就是单位元 $1$。
7. 定义关系的作用:
   • 正是因为这套规则足以进行任何运算，并最终得到一个确定的结果，所以它们被称为群的“定义关系”。它们完全定义了整个群的结构。
   • 作者预告了第7章将更深入地研究这个主题。
8. $S_n$ 的复杂性:
   • 最后，作者感叹，$S_3$ 还算简单，随着 $n$ 的增大，$S_n$ 的结构会变得异常复杂。$|S_4|=24, |S_5|=120$，其内部的子群结构、表示方式等都将迅速复杂化。

1. 引言：子群的重要性:
   • 文章首先点出了 $GL_n$ 和 $S_n$ 这两大群如此重要的一个原因：它们像“母体”一样，内部包含了许许多多其他的小群。这些被包含在内的群，就叫做子群 (Subgroup)。研究一个大群的子群结构，是理解这个大群性质的关键途径。
2. 子群的定义:
   • 前提: 子群首先必须是原群 $G$ 的一个子集 $H$。也就是说，$H$ 里的所有元素都必须是 $G$ 里的元素。
   • 子群三条件 (Subgroup Test): 一个子集 $H$ 要想升级成为一个子群，它自身必须在继承自 $G$ 的运算下也构成一个群。为了验证这一点，我们需要检查以下三个条件：
3. 封闭性 (Closure): 在 $H$ 里随便拿两个元素 $a, b$ 出来，用 $G$ 的运算规则对它们进行运算，得到的结果 $ab$ 必须还在 $H$ 里面，不能跑到 $H$ 外面去。（虽然它肯定还在 $G$ 里面，但作为子群，要求更严格，必须还在 $H$ 里）。
4. 单位元 (Identity): 大群 $G$ 的单位元 $1$ 必须也包含在子集 $H$ 中。
5. 逆元 (Inverses): 对于 $H$ 中的任何一个元素 $a$，它在 $G$ 中的那个逆元 $a^{-1}$ 也必须包含在 $H$ 中。
6. 对条件的解释:
   • 诱导法则 (Induced Operation): 封闭性保证了 $G$ 的运算可以被 $H$ “继承”过来，成为 $H$ 自己的运算。这个继承过来的运算就叫诱导法则。
   • $H$ 自身成群: 单位元和逆元这两个条件，再加上封闭性，实际上就是在说：子集 $H$ 在这个诱导法则下，满足了群定义中的封闭性、单位元和逆元三条公理。
   • 被忽略的结合律: 为什么子群定义里没有要求验证结合律 $(ab)c = a(bc)$？因为 $H$ 是 $G$ 的子集，$H$ 中的所有元素也都是 $G$ 的元素。既然结合律对 $G$ 中所有元素都成立，那么它自然对 $H$ 中这些元素也成立。结合律是可以被子集自动“遗传”的优良性质，无需额外检查。

这一段是作者插入的两个评注，旨在强调一些学习方法和澄清术语定义。

注释 (i): 定义的重要性

1. 核心观点: 作者强调，在学习数学时，精确掌握每个术语的定义是绝对必要的。仅仅依靠直观感觉或模糊的印象是行不通的，甚至会产生错误。
2. 举例说明:
   • 命题: “所有可逆的 $2 \times 2$ 上三角矩阵构成的集合 $T$，是一般线性群 $GL_2(\mathbb{R})$ 的一个子群。”
   • 直觉: 听起来好像是对的。三角矩阵是一类特殊的矩阵，它们自己玩自己的，应该能构成一个子群吧？——这种想法就是作者批评的“直观感觉”。
   • 正确方法: 作者指出，验证这个命题的唯一可靠方法，就是老老实实地回到子群的定义，逐条检验。
   • 检验步骤:
   • 前提: $T$ 是 $GL_2(\mathbb{R})$ 的一个子集吗？是的，因为可逆上三角矩阵首先是一种可逆矩阵。
   • 检验1 (封闭性): 两个可逆上三角矩阵的乘积，结果还是一个可逆上三角矩阵吗？我们需要去证明。
   • 检验2 (单位元): $GL_2(\mathbb{R})$ 的单位元（也就是单位矩阵 $I_2$）是一个上三角矩阵吗？
   • 检验3 (逆元): 一个可逆上三角矩阵的逆矩阵，结果还是一个上三角矩阵吗？
   • “当然，这些点很容易检查”: 作者在这里省略了具体的证明，但暗示了这些都是线性代数中的基本事实。让我们来完成它。

注释 (ii): 关于封闭性的说明

1. 两种观点: 作者指出了在定义群时，对于封闭性 (Closure) 的两种不同处理方式。
2. 观点A (作为公理): 有些教科书会把群的定义列为四条公理：1. 封闭性，2. 结合律，3. 单位元，4. 逆元。这里的封闭性明确指出：对于任意 $a, b \in G$，它们的运算结果 $ab$ 仍然在 $G$ 中。
3. 观点B (作为运算的前提): 本书作者采取了另一种更现代的观点。他认为，“复合法则”或“二元运算”这个概念本身就应该内置了封闭性的要求。一个运算如果运算结果会跑到集合外面去，那它就算不上是这个集合上的一个合格的“二元运算”。
4. 本书的选择: 因此，在本书的体系下，群的定义只需要提三条公理（结合律、单位元、逆元），因为封闭性已经被“复合法则”这个术语提前保证了。这使得定义更加简洁。
5. 对子群定义的影响: 然而，在定义子群时，封闭性必须被明确地提出来。因为即使运算本身在大的集合 $G$ 上是封闭的，但对于一个小的子集 $H$，运算结果很可能落在 $G$ 中，却跑到了 $H$ 的外面。所以，子群的封闭性是一个需要额外检验的、非平凡的条件。

这一部分给出了两个非常重要的子群示例。

示例 (a): 圆群 (Circle Group)

1. 大群 G: 非零复数乘法群 $\mathbb{C}^{\times}$。其元素是所有形式为 $a+bi$（其中 $a,b$ 不全为0）的复数，运算是复数乘法。
2. 子集 H: 绝对值为 $1$ 的复数集。一个复数 $z=a+bi$ 的绝对值（或称模长）$|z|$ 定义为 $\sqrt{a^2+b^2}$。在复平面上，这正好是点 $(a,b)$到原点的距离。所以，所有绝对值为1的复数构成的集合，就是复平面上以原点为中心、半径为1的单位圆。这个集合通常记作 $U(1)$ 或 $S^1$。
3. 名称: 这个子群被称为圆群 (Circle Group)。
4. 验证子群条件:
   • 封闭性: 取两个绝对值为1的复数 $z_1, z_2$。它们的乘积 $z_1z_2$ 的绝对值是 $|z_1z_2| = |z_1||z_2| = 1 \times 1 = 1$。所以乘积的绝对值也为1，它还在单位圆上。
   • 单位元: $\mathbb{C}^{\times}$ 的单位元是复数 $1$ (即 $1+0i$)。它的绝对值 $|1| = \sqrt{1^2+0^2} = 1$。所以单位元在单位圆上。
   • 逆元: 取一个绝对值为1的复数 $z$。它在 $\mathbb{C}^{\times}$ 中的逆元是 $z^{-1} = 1/z$。它的绝对值是 $|z^{-1}| = 1/|z| = 1/1 = 1$。所以逆元也在单位圆上。
5. 结论: 圆群是 $\mathbb{C}^{\times}$ 的一个子群。

示例 (b): 特殊线性群 (Special Linear Group)

1. 大群 G: 一般线性群 $GL_n(\mathbb{R})$，即所有可逆的 $n \times n$ 实矩阵。
2. 子集 H: 行列式为 $1$ 的 $n \times n$ 实矩阵集。
3. 名称: 这个子群被称为特殊线性群 (Special Linear Group)，记作 $SL_n(\mathbb{R})$。
4. 验证子群条件:
   • 封闭性: 取两个行列式为1的矩阵 $A, B$。它们的乘积 $AB$ 的行列式是 $\det(AB) = \det(A)\det(B) = 1 \times 1 = 1$。所以乘积的行列式也为1。
   • 单位元: $GL_n(\mathbb{R})$ 的单位元是单位矩阵 $I_n$。它的行列式 $\det(I_n) = 1$。所以单位元在 $SL_n(\mathbb{R})$ 中。
   • 逆元: 取一个行列式为1的矩阵 $A$。它在 $GL_n(\mathbb{R})$ 中的逆元是 $A^{-1}$。它的行列式是 $\det(A^{-1}) = 1/\det(A) = 1/1 = 1$。所以逆元的行列式也为1。
5. 结论: $SL_n(\mathbb{R})$ 是 $GL_n(\mathbb{R})$ 的一个子群。

最后一句话:

• 作者表示，像上面这两个例子，其子群条件的验证都相当直接和简单（主要依赖于绝对值和行列式的乘法性质）。
• 因此，在未来遇到这类“显而易见”的子群时，可能就不会再一步步地写出详细的验证过程了，而是默认读者能够自行完成。

这一小段定义了三种类型的子群，主要用于分类和交流。

1. 两个明显的子群 (Obvious Subgroups):
   • 对于任何一个群 $G$，我们总能不假思索地写出它的两个子群。
   • 子群1：$G$ 本身: 任何一个集合都是其自身的子集。群 $G$ 作为自身的子集，显然满足子群的所有条件（封闭性、单位元、逆元都在 $G$ 里）。所以 $G$ 是 $G$ 的一个子群。
   • 子群2：平凡子群 (Trivial Subgroup): 考虑只包含单位元 $1$ 的子集 $H=\{1\}$。
   • 封闭性: $1 \times 1 = 1$，结果在 $H$ 中。
   • 单位元: $H$ 中包含了单位元 $1$。
   • 逆元: $H$ 中唯一的元素是 $1$，它的逆元是 $1$，也在 $H$ 中。
   • 所以 $\{1\}$ 总是 $G$ 的一个子群。这个子群被称为平凡子群。
2. 真子群 (Proper Subgroup):
   • 在数学中，“真（proper）”这个词通常用来表示“不等于全体”的子结构。
   • 一个子群 $H$ 如果是真子群，意味着它满足两个条件：
3. $H \neq G$ (H 不是 G 本身)。
4. $H \neq \{1\}$ (H 不是平凡子群)。
   • 换句话说，真子群就是那些“介于”平凡子群和群本身之间的、不那么无趣的子群。

这一部分给出了两个非常重要的子群示例。

示例 (a): 圆群 (Circle Group)

1. 大群 G: 非零复数乘法群 $\mathbb{C}^{\times}$。其元素是所有形式为 $a+bi$（其中 $a,b$ 不全为0）的复数，运算是复数乘法。
2. 子集 H: 绝对值为 $1$ 的复数集。一个复数 $z=a+bi$ 的绝对值（或称模长）$|z|$ 定义为 $\sqrt{a^2+b^2}$。在复平面上，这正好是点 $(a,b)$到原点的距离。所以，所有绝对值为1的复数构成的集合，就是复平面上以原点为中心、半径为1的单位圆。这个集合通常记作 $U(1)$ 或 $S^1$。
3. 名称: 这个子群被称为圆群 (Circle Group)。
4. 验证子群条件:
   • 封闭性: 取两个绝对值为1的复数 $z_1, z_2$。它们的乘积 $z_1z_2$ 的绝对值是 $|z_1z_2| = |z_1||z_2| = 1 \times 1 = 1$。所以乘积的绝对值也为1，它还在单位圆上。
   • 单位元: $\mathbb{C}^{\times}$ 的单位元是复数 $1$ (即 $1+0i$)。它的绝对值 $|1| = \sqrt{1^2+0^2} = 1$。所以单位元在单位圆上。
   • 逆元: 取一个绝对值为1的复数 $z$。它在 $\mathbb{C}^{\times}$ 中的逆元是 $z^{-1} = 1/z$。它的绝对值是 $|z^{-1}| = 1/|z| = 1/1 = 1$。所以逆元也在单位圆上。
5. 结论: 圆群是 $\mathbb{C}^{\times}$ 的一个子群。

示例 (b): 特殊线性群 (Special Linear Group)

1. 大群 G: 一般线性群 $GL_n(\mathbb{R})$，即所有可逆的 $n \times n$ 实矩阵。
2. 子集 H: 行列式为 $1$ 的 $n \times n$ 实矩阵集。
3. 名称: 这个子群被称为特殊线性群 (Special Linear Group)，记作 $SL_n(\mathbb{R})$。
4. 验证子群条件:
   • 封闭性: 取两个行列式为1的矩阵 $A, B$。它们的乘积 $AB$ 的行列式是 $\det(AB) = \det(A)\det(B) = 1 \times 1 = 1$。所以乘积的行列式也为1。
   • 单位元: $GL_n(\mathbb{R})$ 的单位元是单位矩阵 $I_n$。它的行列式 $\det(I_n) = 1$。所以单位元在 $SL_n(\mathbb{R})$ 中。
   • 逆元: 取一个行列式为1的矩阵 $A$。它在 $GL_n(\mathbb{R})$ 中的逆元是 $A^{-1}$。它的行列式是 $\det(A^{-1}) = 1/\det(A) = 1/1 = 1$。所以逆元的行列式也为1。
5. 结论: $SL_n(\mathbb{R})$ 是 $GL_n(\mathbb{R})$ 的一个子群。

最后一句话:

• 作者表示，像上面这两个例子，其子群条件的验证都相当直接和简单（主要依赖于绝对值和行列式的乘法性质）。
• 因此，在未来遇到这类“显而易见”的子群时，可能就不会再一步步地写出详细的验证过程了，而是默认读者能够自行完成。

这一小段定义了三种类型的子群，主要用于分类和交流。

1. 两个明显的子群 (Obvious Subgroups):
   • 对于任何一个群 $G$，我们总能不假思索地写出它的两个子群。
   • 子群1：$G$ 本身: 任何一个集合都是其自身的子集。群 $G$ 作为自身的子集，显然满足子群的所有条件（封闭性、单位元、逆元都在 $G$ 里）。所以 $G$ 是 $G$ 的一个子群。
   • 子群2：平凡子群 (Trivial Subgroup): 考虑只包含单位元 $1$ 的子集 $H=\{1\}$。
   • 封闭性: $1 \times 1 = 1$，结果在 $H$ 中。
   • 单位元: $H$ 中包含了单位元 $1$。
   • 逆元: $H$ 中唯一的元素是 $1$，它的逆元是 $1$，也在 $H$ 中。
   • 所以 $\{1\}$ 总是 $G$ 的一个子群。这个子群被称为平凡子群。
2. 真子群 (Proper Subgroup):
   • 在数学中，“真（proper）”这个词通常用来表示“不等于全体”的子结构。
   • 一个子群 $H$ 如果是真子群，意味着它满足两个条件：
3. $H \neq G$ (H 不是 G 本身)。
4. $H \neq \{1\}$ (H 不是平凡子群)。
   • 换句话说，真子群就是那些“介于”平凡子群和群本身之间的、不那么无趣的子群。